Hur löser man talföljder

•

Geometrisk summa

Detta avsnitt är enbart en del av kursen Matte 3b, läser du 3c är du ändå välkommen att läsa, kolla, räkna och utforska vid intresse.

I Matte 1 lärde vi oss om att upptäcka mönster, talföljder och generella samband. Talföljder är siffror, som i detta sammanhang kallas element, i en ordning som oftast följer en bestämd regel. Vi tar en kortare repetition.
Oftast använder vi $n$ för att beskriva figurens nummer eller plats i följden och $a_i$ används för elementets index. Om vi har en talföljd som ökar med samma nummer varje gång kallas denna differens och betecknas med d. En talföljd kan då beskrivas med en rekursiv formel så som denna:

$$a_{n+1} = a_n +d$$

som då visar att varje tal i talföljden består av det föregående talet med differensen adderat.

I detta avsnitt ska vi gå vidare till geometriska talföljder, där vi går från att elementen ökar eller minskar med lika mycket.

Geometrisk talföljd
I en geometrisk talföljd multipliceras varje element med sa

•

Talföljder

I det här kapitlet kommer vi att lära oss om talföljder och även hur vi med hjälp av så kallade induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller för talföljder och summor.

Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att repetera hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa typer av talföljder. Därefter kommer vi i nästa avsnitt att lära oss mer om rekursion, vilket är ett sätt att successivt beräkna talen i en talföljd utifrån de tal som redan är kända.

Talföljder

I Matte 1-kursen stötte vi på två typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

Allmänt gäller att en talföljd är en uppräkning av tal i en viss ordning. De tal som ingår i en talföljd kallas element.

Här nedan är två exempel på talföljder, där den första är en aritmetisk talföljd och den andra är en geometrisk talföljd:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

och

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

I de båda exemplen ovan finns det ett mönster som gör att vi

•

Bestäm talföljdens formel

En talföljd är en följd av tal. Talen numreras efter den ordning de har i följden, med start från 1.

a₁ a₂ a₃ …

I en aritmetisk talföljd är differensen mellan två på varandra följande tal alltid lika. 1 4 7 10 13… är ett exempel på en aritmetisk följd som startar med 1 och ökar med 3 för varje steg. För att beskriva den här talföljden kan man använda den linjära formeln a_n = 3n − 2.

I en geometrisk talföljd är kvoten mellan två på varandra följande tal alltid lika. 2 4 8 16… är ett exempel på en geometrisk följd som startar med 2 och som fördubblas för varje steg. Denna talföljd kan beskrivas med den exponentiella formeln a_n = 2ⁿ.

Om varken kvoten eller differensen mellan talen är konstanta kan det vara en god idé att titta närmare på differensen mellan differenserna. Om det visar sig att differensen mellan differenserna är konstant betyder det att talföljden kan beskriv